Cómo el pensamiento matemático nos ayuda a “ver”
“Las apariencias son un atisbo de lo invisible.”— Anaxágoras
A lo largo de los siglos, los seres humanos han contemplado el cielo con admiración. El cielo estrellado en las noches de verano nos recuerda lo inmenso que es nuestro universo y lo pequeños que somos en esa inmensidad. La NASA (Administración Nacional de Aeronáutica y el Espacio) ha estado escaneando el universo con telescopios gigantes durante décadas. El hecho de que la luz de las estrellas que vemos en el cielo sea su imagen de hace cuatro años (es decir, las estrellas están tan lejos que su luz tarda cuatro años en llegar a nosotros) debería darnos una idea del vasto tamaño del universo. Entonces, surge la pregunta: ¿cómo podemos obtener información sobre los lugares que estos telescopios no pueden observar? La respuesta es que obtenemos información precisa sobre estas galaxias, los planetas e incluso sus lunas, que están más allá del alcance de nuestros telescopios, gracias a las matemáticas y al pensamiento matemático. Estas herramientas se han utilizado durante siglos y seguirán utilizándose en el futuro. Con las matemáticas, podemos obtener resultados precisos con métodos heurísticos sin ver u observar directamente el objeto.
Las matemáticas nos permiten comprender estructuras invisibles mediante un pensamiento de alto nivel, permitiendo que surja un sistema significativo a partir de caminos que antes parecían aleatorios. Usar nuestra mente para “ver” cuando carecemos de visión física fomenta el pensamiento abstracto, lo que lleva a avances extraordinarios en la civilización humana. Permítanme aclarar esto analizando el problema de los tres prisioneros.
En la antigüedad, tres prisioneros fueron llevados a una habitación y vendados. Se les pidió que se alinearan uno detrás del otro, el más alto en la parte posterior, el más bajo en el frente, todos mirando hacia la pared. Luego, los guardias colocaron un sombrero en la cabeza de cada prisionero. Les dijeron que los sombreros se seleccionaron de un total de cinco sombreros, tres blancos y dos negros, pero no les dijeron de qué color era el que llevaban en la cabeza. Se esperaba que los prisioneros adivinaran el color.
Cuando se quitaron las vendas, el hombre más alto en la parte posterior podía ver los sombreros de los otros dos, el del medio podía ver el sombrero del más bajo, pero el más bajo no podía ver nada más que la pared. Ninguno de los prisioneros podía ver el sombrero que llevaba en su propia cabeza. Los dos sombreros restantes estaban escondidos.
Al hombre más alto se le pidió que adivinara primero. Si adivinaba correctamente el color del sombrero, quedaría libre. Si no, sería ejecutado. Otra opción era decir: “No tengo respuesta”, pero en ese caso tendría que vivir el resto de su vida en la mazmorra. El hombre más alto dijo: “¡No tengo respuesta! ¡No puedo adivinar!”. Al del medio se le preguntó si sabía; también dijo: “¡No tengo respuesta!”. Pero el hombre al frente dijo que había resuelto el acertijo y adivinó correctamente el color del sombrero que llevaba en la cabeza: blanco. ¿Cómo fue esto posible si lo único que podía ver era la pared?
Lo fascinante de este problema es que la persona que inicialmente no tenía información visual es la primera en saber el color de su propio sombrero.
Comencemos analizando las posibles combinaciones de sombreros para los prisioneros. Este problema puede resolverse utilizando el proceso de eliminación.
Existen solo siete combinaciones posibles de sombreros en las tres personas:
1. BBB
2. BBN
3. BNB
4. BNN
5. NBB
6. NBN
7. NNB
(B = blanco, N = negro, y el orden es de atrás hacia adelante.)
El hombre más alto podría haber deducido el color de su sombrero si los otros dos llevaban sombreros negros, ya que solo había dos sombreros negros en total. En ese caso, él tendría que llevar un sombrero blanco. Como eligió no adivinar, podemos eliminar la combinación BNN. Este conocimiento, que BNN ha sido eliminada, ahora es parte del conocimiento común que comparten los tres prisioneros.
El prisionero del medio también eligió no responder. Si hubiera visto un sombrero negro frente a él, podría haber deducido que NO llevaba un sombrero negro, ya que, si lo tuviera, el hombre de atrás habría adivinado que su sombrero era blanco. Como esto no sucedió, podemos eliminar todas las combinaciones con una N en la tercera posición. Nos quedan las combinaciones BBB, BNB, NBB y NNB. En todas estas combinaciones, el primer prisionero (el de adelante) lleva un sombrero blanco. Así es como deduce el color correcto. Los otros prisioneros no podían saber el color de sus sombreros, ya que las opciones restantes incluían la posibilidad de que fueran negros o blancos.
Este antiguo problema de los tres prisioneros es un ejemplo fascinante del pensamiento matemático en acción, mostrando el poder del pensamiento abstracto para resolver acertijos complejos. Al igual que los prisioneros con los ojos vendados usan la lógica y la deducción para determinar los colores de sus sombreros, podemos argumentar firmemente la existencia y las cualidades de muchas entidades físicas más allá de nuestras percepciones. Por ejemplo, la mayoría de los exoplanetas (planetas fuera de nuestro sistema solar) se han descubierto no mediante observación directa, sino a través de métodos indirectos, como la fotometría de tránsito, que mide el oscurecimiento de la luz de una estrella cuando un planeta en órbita la bloquea parcialmente. Otro método indirecto es la velocidad radial, que describe cómo la gravedad de un planeta tira de su estrella hacia nosotros o alejándose de nosotros, desplazando así la longitud de onda de su luz (efecto Doppler). Y un tercer método es la microlente gravitacional, donde, cuando una estrella pasa cerca de otra, su gravedad curva la luz, haciendo que la otra estrella parezca más brillante. Si la estrella que pasa tiene un planeta, esta curvatura es aún mayor y aumenta el brillo de la estrella.
Esto significa que, aunque no tengamos una imagen directa de la mayoría de los exoplanetas, sabemos que existen. Esto refuta el argumento de “No creo lo que no veo”.
Los métodos racionales y la lógica permiten a los seres humanos ver lo invisible y conocer lo incognoscible. Cuando se utilizan múltiples métodos en conjunto, podemos aprender las estadísticas vitales de sistemas planetarios completos sin necesidad de observar directamente los planetas. El mejor ejemplo es el sistema TRAPPIST-1, ubicado a unos 40 años luz de distancia, donde siete planetas de tamaño similar a la Tierra orbitan una pequeña estrella roja. Para poner esto en perspectiva, un año luz equivale a 9,461 billones de kilómetros, por lo que 40 años luz son 378,4 billones de kilómetros de distancia de la Tierra. Además, una unidad astronómica (UA) equivale a 150 millones de kilómetros (93 millones de millas), y el Sol está a 1 UA de la Tierra. En años luz, el Sol está a 0,00001581 años luz de distancia, o 8,20 minutos luz, o 500 segundos luz de la Tierra. Para dar una idea de lo lejos que está este sistema, la sonda solar Parker, la nave espacial más rápida jamás construida, viajando a 692,017 km/h (430,000 mph), tardaría 6,912 años de vuelo ininterrumpido en llegar a TRAPPIST-1. Los siete exoplanetas conocidos que orbitan TRAPPIST-1 han sido examinados con telescopios terrestres y espaciales. Estas observaciones revelaron sus diámetros y la sutil influencia gravitacional que estos planetas, muy cercanos entre sí, ejercen unos sobre otros. A partir de esto, los científicos determinaron la masa de cada planeta. También sabemos cuánta energía irradia su estrella sobre las superficies de estos planetas, lo que permite estimar sus temperaturas. Incluso podemos hacer estimaciones razonables del nivel de luz y adivinar el color del cielo si estuviéramos parados en uno de ellos. Y aunque mucho sigue siendo desconocido sobre estos siete mundos, incluido si poseen atmósferas, océanos, capas de hielo o glaciares, se han convertido en el sistema solar mejor conocido aparte del nuestro.
“Las apariencias son un atisbo de lo invisible”, dijo Anaxágoras (m. 428 a. de C.), uno de los primeros filósofos de la ciencia natural. Uno de mis profesores de matemáticas una vez dijo que lo que sabemos es quizás el tamaño de una pequeña isla en un océano de lo desconocido.
Si piensas en lo que sabemos como un círculo, cuanto más sabes, más grande es el círculo a su alrededor y mayor es su relación con lo desconocido. Es como si, cuanto más sabes, más te das cuenta de lo que no sabes. Cuanto más grande es la isla de lo conocido en el océano de lo inexplorado, más larga es la costa de lo desconocido. “La ignorancia es felicidad”, dicen algunos, quizás en contraste con el miedo a perderse en este océano cada vez más grande de lo desconocido. Lo visible es el precursor de lo invisible, como un iceberg. Mucho más de un iceberg permanece bajo el agua que lo que se ve a simple vista. Solo vemos una trigésima parte del iceberg. Las inferencias astutas pueden ser más precisas que las observaciones físicas. El pensamiento matemático nos muestra todos los aspectos del iceberg.
A medida que continuamos ampliando los límites del conocimiento, impulsados por la curiosidad y guiados por las matemáticas, desbloqueamos nuevos conocimientos sobre los misterios del universo. Al expandir nuestra comprensión del cosmos a través del razonamiento abstracto, nos embarcamos en un viaje de exploración que promete revelar los secretos de la existencia e inspirar a las generaciones futuras a alcanzar las estrellas.
“Aquellos que creen en Lo Oculto…” (al-Baqara 2:3).
Tres prisioneros buscan exoplanetas:
Cómo el pensamiento matemático nos ayuda a “ver”
Hakan Oztunc
“Las apariencias son un atisbo de lo invisible.”— Anaxágoras
A lo largo de los siglos, los seres humanos han contemplado el cielo con admiración. El cielo estrellado en las noches de verano nos recuerda lo inmenso que es nuestro universo y lo pequeños que somos en esa inmensidad. La NASA (Administración Nacional de Aeronáutica y el Espacio) ha estado escaneando el universo con telescopios gigantes durante décadas. El hecho de que la luz de las estrellas que vemos en el cielo sea su imagen de hace cuatro años (es decir, las estrellas están tan lejos que su luz tarda cuatro años en llegar a nosotros) debería darnos una idea del vasto tamaño del universo. Entonces, surge la pregunta: ¿cómo podemos obtener información sobre los lugares que estos telescopios no pueden observar? La respuesta es que obtenemos información precisa sobre estas galaxias, los planetas e incluso sus lunas, que están más allá del alcance de nuestros telescopios, gracias a las matemáticas y al pensamiento matemático. Estas herramientas se han utilizado durante siglos y seguirán utilizándose en el futuro. Con las matemáticas, podemos obtener resultados precisos con métodos heurísticos sin ver u observar directamente el objeto.
Las matemáticas nos permiten comprender estructuras invisibles mediante un pensamiento de alto nivel, permitiendo que surja un sistema significativo a partir de caminos que antes parecían aleatorios. Usar nuestra mente para “ver” cuando carecemos de visión física fomenta el pensamiento abstracto, lo que lleva a avances extraordinarios en la civilización humana. Permítanme aclarar esto analizando el problema de los tres prisioneros.
En la antigüedad, tres prisioneros fueron llevados a una habitación y vendados. Se les pidió que se alinearan uno detrás del otro, el más alto en la parte posterior, el más bajo en el frente, todos mirando hacia la pared. Luego, los guardias colocaron un sombrero en la cabeza de cada prisionero. Les dijeron que los sombreros se seleccionaron de un total de cinco sombreros, tres blancos y dos negros, pero no les dijeron de qué color era el que llevaban en la cabeza. Se esperaba que los prisioneros adivinaran el color.
Cuando se quitaron las vendas, el hombre más alto en la parte posterior podía ver los sombreros de los otros dos, el del medio podía ver el sombrero del más bajo, pero el más bajo no podía ver nada más que la pared. Ninguno de los prisioneros podía ver el sombrero que llevaba en su propia cabeza. Los dos sombreros restantes estaban escondidos.
Al hombre más alto se le pidió que adivinara primero. Si adivinaba correctamente el color del sombrero, quedaría libre. Si no, sería ejecutado. Otra opción era decir: “No tengo respuesta”, pero en ese caso tendría que vivir el resto de su vida en la mazmorra. El hombre más alto dijo: “¡No tengo respuesta! ¡No puedo adivinar!”. Al del medio se le preguntó si sabía; también dijo: “¡No tengo respuesta!”. Pero el hombre al frente dijo que había resuelto el acertijo y adivinó correctamente el color del sombrero que llevaba en la cabeza: blanco. ¿Cómo fue esto posible si lo único que podía ver era la pared?
Lo fascinante de este problema es que la persona que inicialmente no tenía información visual es la primera en saber el color de su propio sombrero.
Comencemos analizando las posibles combinaciones de sombreros para los prisioneros. Este problema puede resolverse utilizando el proceso de eliminación.
Existen solo siete combinaciones posibles de sombreros en las tres personas:
1. BBB
2. BBN
3. BNB
4. BNN
5. NBB
6. NBN
7. NNB
(B = blanco, N = negro, y el orden es de atrás hacia adelante.)
El hombre más alto podría haber deducido el color de su sombrero si los otros dos llevaban sombreros negros, ya que solo había dos sombreros negros en total. En ese caso, él tendría que llevar un sombrero blanco. Como eligió no adivinar, podemos eliminar la combinación BNN. Este conocimiento, que BNN ha sido eliminada, ahora es parte del conocimiento común que comparten los tres prisioneros.
El prisionero del medio también eligió no responder. Si hubiera visto un sombrero negro frente a él, podría haber deducido que NO llevaba un sombrero negro, ya que, si lo tuviera, el hombre de atrás habría adivinado que su sombrero era blanco. Como esto no sucedió, podemos eliminar todas las combinaciones con una N en la tercera posición. Nos quedan las combinaciones BBB, BNB, NBB y NNB. En todas estas combinaciones, el primer prisionero (el de adelante) lleva un sombrero blanco. Así es como deduce el color correcto. Los otros prisioneros no podían saber el color de sus sombreros, ya que las opciones restantes incluían la posibilidad de que fueran negros o blancos.
Este antiguo problema de los tres prisioneros es un ejemplo fascinante del pensamiento matemático en acción, mostrando el poder del pensamiento abstracto para resolver acertijos complejos. Al igual que los prisioneros con los ojos vendados usan la lógica y la deducción para determinar los colores de sus sombreros, podemos argumentar firmemente la existencia y las cualidades de muchas entidades físicas más allá de nuestras percepciones. Por ejemplo, la mayoría de los exoplanetas (planetas fuera de nuestro sistema solar) se han descubierto no mediante observación directa, sino a través de métodos indirectos, como la fotometría de tránsito, que mide el oscurecimiento de la luz de una estrella cuando un planeta en órbita la bloquea parcialmente. Otro método indirecto es la velocidad radial, que describe cómo la gravedad de un planeta tira de su estrella hacia nosotros o alejándose de nosotros, desplazando así la longitud de onda de su luz (efecto Doppler). Y un tercer método es la microlente gravitacional, donde, cuando una estrella pasa cerca de otra, su gravedad curva la luz, haciendo que la otra estrella parezca más brillante. Si la estrella que pasa tiene un planeta, esta curvatura es aún mayor y aumenta el brillo de la estrella.
Esto significa que, aunque no tengamos una imagen directa de la mayoría de los exoplanetas, sabemos que existen. Esto refuta el argumento de “No creo lo que no veo”.
Los métodos racionales y la lógica permiten a los seres humanos ver lo invisible y conocer lo incognoscible. Cuando se utilizan múltiples métodos en conjunto, podemos aprender las estadísticas vitales de sistemas planetarios completos sin necesidad de observar directamente los planetas. El mejor ejemplo es el sistema TRAPPIST-1, ubicado a unos 40 años luz de distancia, donde siete planetas de tamaño similar a la Tierra orbitan una pequeña estrella roja. Para poner esto en perspectiva, un año luz equivale a 9,461 billones de kilómetros, por lo que 40 años luz son 378,4 billones de kilómetros de distancia de la Tierra. Además, una unidad astronómica (UA) equivale a 150 millones de kilómetros (93 millones de millas), y el Sol está a 1 UA de la Tierra. En años luz, el Sol está a 0,00001581 años luz de distancia, o 8,20 minutos luz, o 500 segundos luz de la Tierra. Para dar una idea de lo lejos que está este sistema, la sonda solar Parker, la nave espacial más rápida jamás construida, viajando a 692,017 km/h (430,000 mph), tardaría 6,912 años de vuelo ininterrumpido en llegar a TRAPPIST-1. Los siete exoplanetas conocidos que orbitan TRAPPIST-1 han sido examinados con telescopios terrestres y espaciales. Estas observaciones revelaron sus diámetros y la sutil influencia gravitacional que estos planetas, muy cercanos entre sí, ejercen unos sobre otros. A partir de esto, los científicos determinaron la masa de cada planeta. También sabemos cuánta energía irradia su estrella sobre las superficies de estos planetas, lo que permite estimar sus temperaturas. Incluso podemos hacer estimaciones razonables del nivel de luz y adivinar el color del cielo si estuviéramos parados en uno de ellos. Y aunque mucho sigue siendo desconocido sobre estos siete mundos, incluido si poseen atmósferas, océanos, capas de hielo o glaciares, se han convertido en el sistema solar mejor conocido aparte del nuestro.
“Las apariencias son un atisbo de lo invisible”, dijo Anaxágoras (m. 428 a. de C.), uno de los primeros filósofos de la ciencia natural. Uno de mis profesores de matemáticas una vez dijo que lo que sabemos es quizás el tamaño de una pequeña isla en un océano de lo desconocido.
Si piensas en lo que sabemos como un círculo, cuanto más sabes, más grande es el círculo a su alrededor y mayor es su relación con lo desconocido. Es como si, cuanto más sabes, más te das cuenta de lo que no sabes. Cuanto más grande es la isla de lo conocido en el océano de lo inexplorado, más larga es la costa de lo desconocido. “La ignorancia es felicidad”, dicen algunos, quizás en contraste con el miedo a perderse en este océano cada vez más grande de lo desconocido. Lo visible es el precursor de lo invisible, como un iceberg. Mucho más de un iceberg permanece bajo el agua que lo que se ve a simple vista. Solo vemos una trigésima parte del iceberg. Las inferencias astutas pueden ser más precisas que las observaciones físicas. El pensamiento matemático nos muestra todos los aspectos del iceberg.
A medida que continuamos ampliando los límites del conocimiento, impulsados por la curiosidad y guiados por las matemáticas, desbloqueamos nuevos conocimientos sobre los misterios del universo. Al expandir nuestra comprensión del cosmos a través del razonamiento abstracto, nos embarcamos en un viaje de exploración que promete revelar los secretos de la existencia e inspirar a las generaciones futuras a alcanzar las estrellas.
“Aquellos que creen en Lo Oculto…” (al-Baqara 2:3).
