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Los números primos y la encriptación

En 2018, un equipo de científicos liderado por Patrick Laroche descubrió el número primo más grande conocido hasta la fecha[1], un hallazgo que generó un notable interés[2]. Este número, 282,589,933-1, posee 24,862,048 dígitos decimales. Para comprender la magnitud de este número, imaginemos que lo imprimimos en ambos lados de hojas de papel A4 con una fuente de tamaño estándar; apiladas, estas hojas alcanzarían una altura de 83 cm. ¿Qué motiva a los científicos a perseguir estos descubrimientos y por qué reciben tantos reconocimientos? Para responder a estas preguntas, debemos adentrarnos en el fascinante mundo de las matemáticas.

Historia de los números primos

Un número primo es un número positivo que solo se puede dividir por sí mismo y por 1. Los primeros números primos son 2, 3, 5 y 7, y después de estos, no parecen seguir un patrón evidente. Estos números siempre han fascinado a los científicos, quienes durante siglos han intentado encontrar una fórmula para generarlos.

El estudio más antiguo conocido sobre números primos se atribuye al polímata griego Eratóstenes (276-195 a.C.), famoso por su criba[3]. Este método elimina sistemáticamente los números compuestos (aquellos que no son primos), dejando únicamente los números primos. Sin embargo, la criba de Eratóstenes se vuelve impráctico para números muy grandes.

En el siglo XVII, el científico francés Marin Mersenne (1588-1648) desarrolló un teorema[4] que se formula como 2n – 1 (donde n es un número natural), el cual permite calcular muchos números primos. Aunque se descubrió que 2047 211 – 1 no es un número primo, los números primos obtenidos con esta fórmula se conocen como números primos de Mersenne. El número primo más grande descubierto en 2018 también es un primo de Mersenne que cumple con esta fórmula.

Otro matemático francés, Pierre de Fermat (1607-1665), adoptó un enfoque similar al de Mersenne y afirmó que la fórmula 2Ù (2Ùm)-1 (donde m es un número natural) puede producir números primos. Sin embargo, se descubrieron excepciones que demostraron que esta fórmula no siempre genera números primos[5]. Estos números se llamaron números de Fermat y, en algunos casos, resultaron más efectivos que los números de Mersenne[6].

Hoy en día, se acepta generalmente que no existe una fórmula que pueda generar todos los números primos. Por lo tanto, los matemáticos se centran en métodos para verificar si un número es primo. Los investigadores han desarrollado varias pruebas de primalidad, como las de Fermat, Miller-Rabin, AKS y Lucas-Lehmer, para determinar si números extremadamente grandes son primos.

Además de los números primos, los matemáticos también estudian los números que son relativamente primos, es decir, coprimos. Por ejemplo, tomemos el 21 y el 10. Aunque ninguno de estos números es primo, son coprimos entre sí, ya que su único divisor común es el 1. Muchos números compuestos pueden ser coprimos con otros números.

Los números primos y la encriptación

Usamos números primos todos los días sin siquiera darnos cuenta. Existen muchos ejemplos de cómo se emplean en diversos campos, como la física, la ingeniería, la codificación y múltiples aplicaciones tecnológicas. Una de las áreas donde los números primos se utilizan con mayor frecuencia es la criptografía, la práctica de técnicas para la comunicación segura. La palabra «criptografía» proviene del griego “kryptós” (oculto o secreto) y “graphe” (escritura). Una de las primeras aplicaciones de la criptografía fue el cifrado de César[7].

El cifrado César sigue un método de encriptación sistemática donde se asignan números a las letras del alfabeto, por ejemplo: A=0, B=1, C=2 … Z=27

Así, al codificar el mensaje HOLA obtendríamos: 7 14 11 0

Al aplicar una “clave” (como sumar 5 a cada número), el mensaje se encripta antes de ser enviado: 12 19 16 5

El destinatario del mensaje descifra el mensaje siguiendo las reglas de la aritmética modular (por ejemplo, restando 5 a los números). La seguridad radica en comunicar la clave al destinatario de forma segura. Durante la Segunda Guerra Mundial, los científicos alemanes, conscientes de esta problemática, emplearon el sistema Enigma, cambiando la clave diariamente[8]. Por otro lado, los británicos usaron máquinas desarrolladas por el matemático y lógico Alan Turing (1912-1954) para descifrar los mensajes encriptados, a pesar de los cambios diarios en las claves, alterando así el curso de la guerra.

En la encriptación sistemática, los números primos desempeñan un papel crucial en la seguridad de la comunicación entre el remitente y el destinatario. El método de “encriptación asimétrica” fue desarrollado en 1977 por Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, quienes crearon el método RSA, basado en dos números primos y un tercer número derivado de la multiplicación de estos primos[9].

En este sistema, se emplea una “clave pública” (el primer primo) que es de dominio público, y una “clave especial” (el segundo primo) conocida por cada usuario. El tercer número, que no tiene por qué ser primo, se obtiene al multiplicar los dos primeros primos. A través de operaciones especiales, estos números primos se combinan para encriptar la clave.

Por ejemplo, al usar un cajero automático con tu tarjeta bancaria, esta proporciona al cajero la clave pública del banco (un número primo). Luego, introduces tu PIN, que no necesita ser un número primo, para establecer una comunicación segura con el banco. Una vez que ingresas correctamente el PIN, el sistema accede a la clave privada mediante operaciones en segundo plano, permitiéndote realizar transacciones seguras. Este proceso se basa en algoritmos complejos para garantizar la seguridad. Independientemente del algoritmo utilizado, la encriptación y desencriptación se basan en el uso de números primos. Cuanto mayor sea el número primo, más difícil será descifrar el código.

Los números primos se utilizan de manera cotidiana en muchos aspectos de nuestra vida, a menudo sin ser plenamente conscientes de ello. Existen posibles propiedades no descubiertas y nuevas áreas de aplicación para los números primos.

Referencias

1- “Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS, ‘Gran búsqueda de números primos de Mersenne por Internet’)”, www.mersenne.org

2- Mayor número primo conocido, https://es.wikipedia.org/wiki/Mayor_número_primo_conocido

3- “La criba de Eratóstenes” https://es.wikipedia.org/wiki/Criba_de_Eratóstenes

4- Marin Mersenne, https://es.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne

5- Pierre de Fermat, https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat

6- Los números primos de Mersenne son aquellos que siguen la forma 2^p – 1, donde “p” es un número primo. Algunos ejemplos de los primeros números primos de Mersenne en el sistema binario:

El número primo de Mersenne M2 es 3, que en binario se representa como 11.

El número primo de Mersenne M3 es 7, que en binario se representa como 111.

El número primo de Mersenne M5 es 31, que en binario se representa como 11111.

El número primo de Mersenne M7 es 127, que en binario se representa como 1111111.

Los números primos de Fermat son aquellos que siguen la forma 2^(2^n) + 1, donde “n” es un número entero no negativo. Algunos ejemplos de los primeros números primos de Fermat en el sistema binario:

El número primo de Fermat F0 es 3, que en binario se representa como 11.

El número primo de Fermat F1 es 5, que en binario se representa como 101.

El número primo de Fermat F2 es 17, que en binario se representa como 10001.

El número primo de Fermat F3 es 257, que en binario se representa como 100000001.

El número primo de Fermat F4 es 65537, que en binario se representa como 10000000000000001.

7- “El cifrado de César”, https://es.wikipedia.org/wiki/Cifrado_César; “Exploración del cifrado César”, https://es.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/crypt/pi/caesar-cipher-exploration

8- “Enigma (máquina)”, https://es.wikipedia.org/wiki/Enigma_(máquina)

9- “El cifrado RSA”, https://es.wikipedia.org/wiki/RSA

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